8. 最大子列和

问题描述：对给定数组A，寻找A的和最大的非空连续子数组。

输入格式：输入的第一行包括一个整数n，代表数组中的元素个数，接下来的一行包含n个整数（可以包含负数），以空格分隔。

输出格式：一个整数，表示最大的连续子数组的和。

样例输入：

9

2  4  -7  5  2  -1  2  -4  3

样例输出：

8

思路：1.分治法

　　分解：把数组从中间位置划分成两个子数组。

　　解决：使用分治法递归地求解这两个子数组的最大子数组。当规模缩小到子数组长度为1时，直接返回该元素的值。

　　合并：求解跨越两个子数组的最大子数组，即跨越这个相邻子数组合成的数组中点的最大子数组，并与之前得到的结果进行比较，选取和最大者。

　　时间复杂度：O(NlogN)

Code：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> a;
int n;
int solve(int L, int R){
    if (L == R) return a[L];
    int maxL = 0, maxR = 0, maxMid = 0;
    int mid = (L + R) / 2;
    int sumL = 0, sumR = 0, maxSumL = 0, maxSumR = 0;
    maxL = solve(L, mid);
    maxR = solve(mid+1, R);
    for (int i = mid; i >= 0; i--){
        sumL += a[i];
        if (sumL > maxSumL)
            maxSumL = sumL;
    } 
    for (int i = mid+1; i <= R; i++){
        sumR += a[i];
        if (sumR > maxSumL)
            maxSumL = sumR;
    }
    return max(max(maxL, maxR), maxSumL+maxSumR);
}

int main(){
    scanf("%d", &n);
    a.resize(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    cout << solve(0, n-1);
    return 0;
}

　　2.动态规划

　　dp[n] 表示以第n个数为结尾的最大子列和。

　　dp[n] = max(0, dp[n-1]) + a[n]。

　　时间复杂度为O(N)

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    int x, sum = 0, maxSum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin >> x;
        sum += x;
        if (sum > maxSum) maxSum = sum;
        else if (sum < 0) sum = 0;
    } 
    cout << maxSum;
    return 0;
}